La théorie générale des catégories

La théorie générale des catégories étudie les structures d’idées scientifiques en général, que ce soit dans les disciplines telles que la physique, la biologie et les mathématiques, mais aussi dans l’ensemble de la philosophie et des sciences humaines et sociales. Elle s’applique en outre de façon unificatrice aux idées de l’ensemble des disciplines de recherche en général.

L’étude des catégories d’idées a été motivée par l’existence de structures conceptuelles ou mathématiques qui traversent certaines parties de l’ensemble des disciplines alors même qu’elles s’ignorent mutuellement. Ces structures prennent souvent la forme d’analogies exactes, ce qui inclut plusieurs analogies mathématiques en physique, mais également certaines analogies conceptuelles entre les sciences physiques, les sciences biologiques et les sciences humaines et sociales.

La définition de la théorie générale des catégories consiste d’abord à poser des catégories d’idées scientifiques. Par exemple, les idées de la physique forment une catégorie, c’est-à-dire une structure algébrique dont les objets, appelés idées, sont des concepts, des théories, des hypothèses ou des problèmes, etc. de la physique. On suppose que cette définition est assez claire et précise pour permettre d’obtenir des résultats intéressants pour les chercheurs en général.

La définition abstraite de l’idéométrie prend d’abord modèle sur celle des catégories d’objets  mathématiques. Une catégorie d’idées scientifiques est constituée par la donnée d’une classe de telles idées et de correspondances entre ces idées, appelées idéomorphismes. On pose alors une fonction F : C → D d’une catégorie C à une catégorie D, qui à toute idée scientifique X de C associe une idée scientifique F(X) de D de telle façon qu’à tout idéomorphisme f :  X → Y de C, est associé un idéomorphisme F(f) : F(x) → F(y) de D, qui préserve la structure de C, c’est-à-dire qui comportent un élément neutre F(IdA) = Id(Fa) et qui préservent la composition : pour tous les objets X, Y et Z et morphismes f : X → Y et  g : Y → Z de C, F(g • f) = F(g) • F(f).

On définit, en idéométrie, C et D comme deux domaines d’idées scientifiques, qui peuvent être par exemple la physique et la biologie,  X et Y comme deux idées scientifiques d’un même domaine d’idées, par exemple les <particules élémentaires> et l’<atome>, un idéomorphisme (morphisme idéométrique) f ou g en tant qu’association formelle d’idées scientifiques.

 

Les transformations naturelles

Un autre aspect essentiel de la théorie générale des catégories est ce qu’on y appelle les transformations naturelles, sans doute en raison de leur utilité pour étudier le caractère fréquent et assez évident mais mal compris de certains rapports profonds des objets mathématiques entre eux. Dans le cas de la théorie générale des catégories, il s’agit en gros des différentes façons dont les fonctions d’idées scientifiques se relient entre elles.

Définissons donc les transformations naturelles de telle façon qu’elles puissent s’avérer utiles pour le développement de l’idéométrie.

Soit deux catégories d’idées scientifiques et d’idéomorphismes C et D, on définit d’abord Idées(C), l’ensemble des idées de C et idéo(D), l’ensemble des idéomorphismes dans D. On définit ensuite deux fonctions F et G de C dans D ; on appelle transformation naturelle de F dans G, et on note m : F → G, une application m de Idées(C) dans Idéo(D) vérifiant :

1)         pour tout objet A de C

m(A) : F(A) dans G(A) ;

2)         pour tout idéomorphisme f : A → B de C,

on a

m(B)F(f)  =  G(f)m(A)

Exemple : On peut vérifier que les deux fonctions correspondant aux propriétés d’être une unité constitutive d’un ordre de réalité et d’être une base pour une évolution productive sont liées à la fonction appliquant un type d’évolution dans un type de complexification supérieur d’évolution, de façon à constituer une transformation naturelle.

 Une structure implicite en physique, biologie et sciences humaines 
Transformation naturelle des correspondances entre deux ordres de réalité :

<unité constitutive d’un ordre de réalité>

<évolution propre à un ordre de réalité>

 

Les idéomorphismes des idées de la physique et ceux des idées biologiques sont encore les idées d’autres catégories d’idéomorphismes, qui représentent des structures d’idées. Les transformations naturelles de type idéométrique permettent de mettre en évidence les structures qu’elles préservent, qui peuvent être présentées dans des séquences ou des tableaux de séquences idéométriques. Il apparaît que la structure L représente un ensemble de traits issus de plusieurs transformations naturelles.