La notion de preuve mathématique a encore été remise en question, en 1976, l’année où l’on a démontré avec l’aide indispensable d’un ordinateur la fameuse conjecture des quatre couleurs1. De plus, en 1995, on a créé des logiciels de calculs symboliques qui permettent à des ordinateurs de « découvrir » eux-mêmes de nouvelles formules. Les chercheurs font donc maintenant des découvertes indirectes, par le biais d’ordinateurs. Les mathématiciens continuent d’y jouer un rôle essentiel en dirigeant ces recherches. 

  Un nouveau type de recherche 

          Le mathématicien Jean Pézennec raconte comment, en 1995, Simon Plouffe, David Bailey et Peter Borwein ont trouvé une formule qu’on peut qualifier de « révolutionnaire » parce que

1) elle a été trouvée à l’aide d’un ordinateur,

2) on peut en tirer un algorithme capable de calculer directement le

n-ième chiffre du développement du nombre pi en base 2, sans calculer les chiffres précédents.

On entre ainsi, selon Pézennec, dans une nouvelle ère des mathématiques où l’on ne sait plus trop ce qu’est une démonstration mathématique2. La démarcation entre preuve empirique et démonstration formelle devient moins claire. Il semble cependant que l’on élaborera de plus en plus de preuves mathématiques relatives ou indirectes. Il se peut qu’à long terme, la plupart des résultats mathématiques importants soient obtenus par ordinateur. De ce fait, on s’habituera peut-être à l’idée de voir la recherche mathématique comme l’exploration d’un immense monde en soi.

            Nous pouvons croire que, même sur le plan de la rigueur, loin de renoncer à ces moyens extraordinaires de faire avancer les connaissances, on trouvera sans doute de nouvelles procédures de vérification qui dépasseront celles qui existent actuellement. Si, en effet, on élargit encore le domaine de la recherche, il semble probable que certains présupposés cachés dans les démonstrations actuelles soient mis en évidence avec pour effet de relativiser le statut de ces preuves.

            Après tout, pourquoi pas envisager dès maintenant, de nouvelles sortes de théorèmes potentiellement démontrables, qui vont bien au-delà des capacités effectives, dites « humaines », de démonstration. L’ordinateur pourra jouer alors un rôle comparable à celui du télescope, qui a permis de dépasser les capacités « naturelles » de l’œil, permettant à la science de faire des découvertes cruciales, auxquelles on ne voudra jamais renoncer3.  

            L’idée de transfinité appliquée à la recherche a pour effet de modifier notre conception de la science existante. Celle-ci n’est plus vue comme accomplie, c’est-à-dire comme réellement capable de juger de la valeur des résultats qu’elle obtient. La science existante n’est plus vue comme ayant presque atteint son terme, comme étant en possession des théories, des méthodes et, en général, de tous les concepts les plus fondamentaux possibles, les problèmes subsistant étant considérés comme des exceptions ou de simples anomalies.   

  Pour que la science actuelle soit réputée science non accomplie 

           La science existante devra plutôt être vue comme non accomplie, du moins tant que nous n’aurons pas résolu les problèmes essentiels qui se posent encore en ce qui concerne la réalité, la conscience et le temps. Ces problèmes concernent en fait chacune des disciplines de la recherche. À ce moment, peut-être, notre science aura atteint suffisamment de maturité pour être en mesure de juger de la valeur des résultats obtenus. En attendant, il vaut mieux ni rejeter ni tenir pour certain quelque résultat que ce soit. 

            L’interprétation de la science accomplie (SA) tend à figer la science existante et, de ce fait, à sacraliser les séparations disciplinaires, comme si la science devait consister à ce que chacun des chercheurs affirment l’autonomie de « sa » discipline et se doive de protéger « son » domaine contre les intrusions étrangères d’autres disciplines de recherche. En outre, elle entrave la recherche, qui tantôt s’épuise à chercher ou à prouver des fondements définitifs, tantôt dénigre tout ce qui se présente comme hypothétique ou spéculatif. C’est d’ailleurs ce qui explique l’état de « crise » permanent de la modernité sur le plan de la recherche d’idées ; on recherche désespérément les fondements derniers de sa discipline. Ces « crises » signifient surtout qu’on est impatient de retrouver l’illusion d’une science quasi achevée.

           Nous opposons à SA l’interprétation de la science non accomplie, la SNA, laquelle consiste à voir comme provisoire tout ce qui semble acquis et ce, jusqu’à preuve du contraire4. Et c’est tout en admettant que nous n’avons peut-être, à cette époque, qu’une très faible idée de ce que pourrait être une telle preuve. Cette SNA se présente comme une science qui a retrouvé l’unité de son idée d’origine, qui est redevenue une recherche « désintéressée », c’est-à-dire, en fait, intéressée à un idéal supérieur de compréhension du réel et de compréhension, et de réalisation, de soi. La SNA se comprend donc d’emblée comme science adisciplinaire. De ce fait, la SNA n’a pas de raison de se tenir à l’écart des recherches de type philosophique, voire théologique, si du moins il s’agit réellement de recherche et que nous voulons vraiment faire une recherche gratuite et, autant que possible, sans préjugé. La détermination actuelle de tenir séparés ces types de recherche de la compréhension du réel devra vraisemblablement, un jour, tomber en désuétude.

             Pour saisir la pertinence d’un tel idéal il nous faut cesser de croire que nous sommes « sur le point » d’avoir tout réglé5. On l’a cru de façon récurrente dans la modernité en grande partie parce qu’on s’est cru, comme par le passé, entièrement capable de juger de ce qui est crédible ou non. Le moderne ne croit pas tout savoir, mais il croit pouvoir tout juger ou évaluer. C’est une sorte de naïveté, une forme subtile de dogmatisme.

 

1 La conjecture des quatre couleurs remonte au XIXème siècle. Il s’agit de démontrer que quatre couleurs suffisent à colorier les régions d’un plan infini (ou d’une surface sphérique) de façon à ce que deux régions possédant une frontière commune soient de deux couleurs différentes. 1

2 Jean Pézennec, Promenades au pays des Nombres, Paris, Ellipses, 2002, p. 104-105. Ce mathématicien constate que de « formidables progrès mathématiques » ont accompagné l’apparition de l’ordinateur. Et, à propos des formules obtenues par ordinateur, il poursuit ainsi : « Il existe des procédures de contrôle permettant de certifier par ordinateur leur validité, mais peut-on faire confiance à ces procédures au point de donner à ces formules, échappant à toute possibilité de vérification humaine, le statut de vérité mathématique ? » Par exemple, peut-on les utiliser au même titre que les formules démontrées classiquement ? Il ajoute enfin qu’il ne fait pas de doute que « ces formules trouvées par ordinateur et dépassant les possibilités de vérification humaine se multiplieront dans les années à venir » (ibid.). 2

3 Parmi ces découvertes essentielles, celles de Galilée — en particulier, les reliefs lunaires, les phases de Vénus, les quatre satellites dits galiléens de Jupiter et la nature de la Voie lactée en tant qu’immense rassemblement d’étoiles — sont considérées aujourd’hui comme le coup de grâce donné à la cosmologie géocentrique. Cela s’est fait en dépit de l’opposition de ceux qui, au nom de la rigueur, se sont opposés à ce que la vision par télescope soit considérée comme scientifiquement fiable. 3

4 L’interprétation non pythagoricienne des lois physiques (INP) relève de la SNA (voir le chapitre 2). 4

5 Il ne s’agit pas exactement d’un idéal, mais plutôt d’une super-idée dont nous ne pouvons avoir, présentement, qu’une compréhension approximative. Une super-idée est en quelque sorte un embryon d’idée qui n’atteindra sa maturité que plus tard, dans l’histoire. Pour un approfondissement du concept de super-idée, on peut se référer à mon livre Le Dieu imparfait. Essai de philosophie pour notre temps, Québec, Presses Inter Universitaires, 2006, section 51, « l’idée d’une idée ». 5