Une preuve acceptée à un moment donné est toujours susceptible, plus tard, d’être relativisée. On pourra par exemple montrer le caractère arbitraire de certains des présupposés sur lesquels elle repose. La preuve sera désormais réputée moins généralement valable qu’on ne l’avait d’abord cru. Dans certains cas, le formalisme et la rigueur seront rétablis sur de nouvelles bases. 

  Les cas d’axiomes faussement évidents 

           Le cas le plus fameux de remise en question des démonstrations est sans doute celui du cinquième postulat d’Euclide, qui se trouve relatif à l’espace euclidien et qui, donc, dépend d’un présupposé qui est resté longtemps dissimulé sous une fausse évidence. Un autre cas est celui de l’axiome de choix. Celui-ci s’est révélé indispensable à la démonstration d’une classe étendue de théorèmes en analyse, en topologie générale et en logique1. Il en ressort à nouveau une profonde relativisation de la notion de démonstration. Plusieurs ont conclu de ces deux cas que tout système axiomatique était essentiellement relatif. Il n’est cependant pas clair si cela signifie que tout en mathématiques est relatif ou bien si nos modes de saisie ou d’appréhension du réel mathématique sont en eux-mêmes relatifs.

La réalité mathématique

           Il existe quelque chose comme une réalité mathématique à découvrir. Nos axiomes indiquent, de façon détournée, l’existence d’une sorte de réel mathématique plus global que le réel physique. La fécondité des systèmes axiomatiques ou, plus généralement, des théories mathématiques semblent bien confirmer ce fait.

           D’ailleurs, ainsi que nous l’avons vu ici, le réel physique se présente sous le double aspect d’un réel physico-mathématique, qui constitue, dans l’Univers (ontologique ou physique), tout ce qui est réellement potentiel, et d’un réel physico-cognitif, qui constitue, dans ce même Univers, tout ce qui s’y passe effectivement.

           La réalité mathématique telle que révélée par la richesse des théories mathématiques serait quelque chose comme un monde réel englobant cet Univers physico-mathématique, une sorte d’exo-cosmos beaucoup plus vaste que tout ce que nous connaissons actuellement. 

            On ne comprend pas bien encore le concept d’existence mathématique et même, indirectement, le concept de propriété bien définie. Il faudrait, pour cela, mettre au jour tous les présupposés cachés. Il existe d’ailleurs des écoles de pensée qui tentent de justifier leurs points de vue respectifs au moyen d’arguments qui ne sont pas décisifs. Ces divergences apparaissent souvent comme de simples différences de styles ou, comme on dit, de « philosophies » (en un sens subjectif).

1 Paul J. Cohen a démontré en 1963 l’indépendance de l’axiome de choix. 1