On appelle habituellement « ordres de grandeurs » les différentes puissances de dix. Ainsi les nombres qui sont de l’ordre de 10, 100, 1000, …, 106, 109, etc., représentent les ordres de grandeurs usuels. Nous pouvons dire par exemple que l’ordre de grandeur de la population mondiale actuelle est de l’ordre de la dizaine de milliards, soit 1010. Certains des nombres courants les plus grands sont les nombres dits astronomiques — par exemple, le nombre de galaxies dans l’Univers observable ou le nombre d’étoiles dans une grande galaxie — sont de l’ordre de dix à cent milliards. Cependant, s’il s’agit d’exprimer numériquement la richesse du potentiel réel global de la biosphère ou même le potentiel réel d’un humain, le nombre est si grand qu’il défie l’imagination et… notre notation numérique habituelle! 

  Quelques grands nombres de la physique… 

            Quelques-uns des grands nombres de la physique sont 1010 (nombre approximatif d’étoiles dans la Galaxie), 14 .109 années (âge de l’Univers) ou encore 2 .1022 kilomètres (distance de la galaxie d’Andromède). L’échelle dite microscopique représente les plus petites quantités physiques comme, par exemple, 10 –31 kg (masse approximative d’un électron), 10 –8 mètre (taille approximative d’un atome).  

            L’un des plus grands nombres d’objets naturels est le nombre approximatif de protons dans l’Univers observable, qui est de l’ordre de 1080. On remarque que même dans ce cas la puissance 80 demeure un nombre relativement petit et facile à transcrire ou à manipuler. Cependant lorsque les nombres sont si grands que leur ordre de grandeur est lui-même très grand, cette notation devient malaisée. Par exemple, le nombre approximatif de tous les sous-ensembles de protons dans l’Univers observable peut être exprimé, en combinant les écritures alphabétiques et numériques, comme 2 exposant (10 exposant (80)), c’est-à-dire {2 exposant (1080)}. Convenons par commodité d’écrire ce nombre en abrégé, soit 2 exp(1080). Un tel nombre est bien plus grand que tous les nombres astronomiques usuels. Même son ordre de grandeur est trop grand pour être exprimé de façon exacte. Appelons les nombres aussi grands « super-grands nombres ». 

            Définissons ici une autre sorte d’ordre de grandeur qui permettra de comparer les super-grands nombres. Nous parlerons ici des « super-ordres de grandeurs », lesquels seront exprimés ainsi : 101, 102, 103, 104, … (prononcer dix super un, dix super deux, etc.). Le premier super-ordre, soit 101, est défini comme égal à 10 ; le second, soit 102, est alors 1010, c’est-à-dire dix milliards, le troisième, 103, est égal à 10 exp(1010) et ainsi de suite. De façon générale,  

                                           10i +1 = 10 exp(10i

où la variable i prend les valeurs 1, 2, 3, … . Nous conviendrons que les nombres compris entre les super-ordres i et i  + 1 relèvent du super-ordre i. Par exemple, un million, c’est-à-dire 106, relève du super-ordre 1, c’est-à-dire 101. Les nombres dits astronomiques, comme dix milliards ou cent milliards, c’est-à-dire 1010 ou 1011, relèvent du second super-ordre, c’est-à-dire102. Un exemple de nombre relevant du troisième super-ordre est le nombre de sous-ensembles d’atomes dans l’Univers observable, soit 2 exp(1080). Nous utiliserons parfois, dans ce qui suit, l’expression de « super-nombre » afin de désigner des nombres de super-ordre 2 ou plus. 

            En général, on peut dire de deux nombres qu’ils sont de tailles comparables s’ils relèvent d’un même ordre de grandeur. Ainsi deux galaxies peuvent être considérées de tailles comparables si elles contiennent respectivement 10 milliards et 20 milliards d’étoiles. En somme, elles sont comparables puisqu’elles sont toutes deux de l’ordre de grandeur 1010. Cette façon d’estimer la comparabilité est pertinente pour des objets tels que des galaxies, mais elle ne l’est pas nécessairement s’il s’agit de comparer deux groupes de personnes, par exemple, deux familles. Ainsi on ne dit pas nécessairement que deux familles sont de grandeurs comparables alors que l’une comporte deux fois plus de personnes que l’autre comme dans le cas de trois et de six enfants respectivement pour ces deux familles. On peut en conclure que la comparabilité de deux ou plusieurs ensembles dépend du type d’ensemble ou de la grandeur de ces ensembles. 

            Lorsqu’on parle en général de la richesse de la biosphère, de la diversité du vivant, ou encore des cultures humaines ou du génie humain, on sous-entend des quantités d’éléments distincts ou diversifiés qui ont existé ou existent effectivement, ou qui existeront éventuellement. Cela s’illustre par exemple par le nombre d’espèces existant ou bien par le nombre d’œuvres contenues dans un grand musée ou une grande bibliothèque. De telles quantités sont chiffrables en milliers ou en millions. Il s’agit d’ordres de grandeur qui sont tous exprimables au premier super-ordre (entre 10 et 10 milliards). On n’a encore jamais ressenti le besoin de définir les super-ordres en général. Le premier d’entre eux suffit à évaluer en pratique toutes les quantités, du moins les quantités les plus grandes auxquelles nous sommes habitués. Les nombres dits astronomiques sont en général situés au second super-ordre (entre 10 milliards et 10 exp(1010) ). Les deux premiers super-ordres suffisent donc très généralement à exprimer la complexité à laquelle on est susceptible de penser. Or, les deux premiers super-ordres de grandeur ne permettent pas d’exprimer la grandeur des potentiels réels en général, excepté dans les cas triviaux ou de modèles simplifiés. Les ordres de grandeurs des potentiels réels sont si énormes que nous ne sommes tout simplement pas en mesure de les exprimer dans la terminologie existante.

            L’utilisation des super-ordres va nous permettre d’exprimer ces réalités et de les comparer à d’autres. Ce type de comparabilité est applicable à des ensembles de très grandes tailles, si grandes en fait qu’on n’en a encore presque jamais eues à considérer d’aussi grandes, que ce soit en astronomie ou dans tout autre domaine de recherche. Or, les potentiels réels de différents systèmes peuvent être de tailles aussi grandes. Ce nouveau type de comparabilité sera donc applicable aux potentiels réels de différents systèmes. Est en cause le nombre des potentialités réelles qui sont incluses dans le potentiel réel d’un système à un moment donné. Ce système peut, comme nous le verrons, être l’Univers observable, la biosphère ou encore l’humanité, une collectivité humaine ou même une simple personne.

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