Équation de Mandelbrot

Équation génératrice du « Scarabée »

Graphique de Mandelbrot

Graphique de l’équation de Mandelbrot

Le "Scarabée"

Le « Scarabée » de Mandelbrot

Dans son livre The Emperor’s New Mind, Roger Penrose décrit un voyage étrange qu’il a fait au « pays de Tor’Bled-Nam ». Ce pays est en fait un univers plan, dans lequel on peut voyager grâce à un ordinateur qui calcule les points d’une figure complexe à partir d’une fonction mathématique qui est fort simple, du moins aux yeux des mathématiciens[1]. Après plusieurs millions de ces calculs, il en a résulté un ensemble de points marqués sur le plan à certains endroits précis. Certaines régions sont entièrement noircies, d’autres laissent voir un ensemble diffus de taches. Ces points représentent un « ensemble de Mandelbrot[2] ».

Penrose raconte qu’au début, il était « sous l’impression que les structures floues (fuzzy) qu’il voyait était le résultat d’un dysfonctionnement de l’ordinateur[3] » Puis il a examiné le plan ainsi travaillé et il y a découvert, écrit-il, que la complexité de l’ensemble de Mandelbrot est vraiment remarquable[4]. Il y a rencontré une forme inattendue, une sorte de « scarabée » poilu (voir les figures ci-dessus). Grâce à l’ordinateur, il a pu observer de plus près la bestiole, comme avec une forte loupe. En grossissant l’un des poils en forme de spirale ébouriffée, il a aperçu un autre scarabée, tout petit, au milieu d’une touffe. Les poils eux-mêmes ressemblent à des œuvres d’art, sortes de minuscules galaxies, chacune avec des myriades de points diffus, dont on pourrait se demander si, par hasard, elle ne contiendrait pas des étoiles et des planètes et, peut-être même, sur l’une de ces planètes, des animaux… !

Penrose écrit encore, à propos de l’ensemble de Mandelbrot : « Pour être compliqué, il l’est et, pourtant, il est généré par une règle si simple![5] ». Pourtant « personne parmi nous ne peut comprendre réellement tout le détail de la structure de l’ensemble de Mandelbrot et aucun ordinateur ne peut la montrer au complet […]. L’ordinateur est utilisé essentiellement de la même façon qu’un instrument expérimental par un physicien qui veut explorer la structure du monde physique […]. Tout comme le mont Everest, l’ensemble de Mandelbrot est juste ![6]

On peut conclure, ici, en remarquant qu’en effet, l’univers mathématique — ou mieux, les univers mathématiques — nous révèlent souvent toute une faune d’objets, une espèce de vie qui pullule. Une sorte de « hasard » s’y trouve, d’une nature très particulière et paradoxale. C’est le hasard qui fait qu’une chose surgit nécessairement parce que mathématiquement. C’est en quelque sorte un hasard ontologique.

Supposons qu’un mathématicien développe un jour une équation de façon à constituer une structure mathématique très complexe. Supposons même qu’il y découvre au moyen de l’ordinateur, par calcul ou par démonstration des « propriétés » difficilement croyables, surtout pour ceux qui ne sont pas mathématiciens, soit des sous-structures inattendues évoquant quelque chose de réel. Par exemple, ce mathématicien y découvrirait une structure analogue à celle de cristaux, à la structure moléculaire H2O, voire de l’ADN ou de protéines ou, même, il y découvrirait carrément et puis d’autres séquences ordonnées analogues à des formes qui se reproduisent et prolifèrent. Poursuivant l’étude de cette fonction mathématique, il y découvrirait peu à peu l’équivalent d’un espace-temps et une biosphère qui y apparaîtrait comme un potentiel réel et qui s’y développerait conformément à la structure d’un graphe arborescent. Enfin, des séquences qu’on pourrait comparer à des expressions esthétiques ou poétiques, sous l’aspect de figures qui ressembleraient à des œuvres d’art. Pourquoi pas, même, imaginer que ce type d’expérience pourrait aller jusqu’à se révéler instructif en ce qui concerne notre Univers ou en ce qui nous concerne nous-mêmes, incluant nos conceptions philosophiques ou scientifiques ? Ce type de résultat ne diffère peut-être pas tellement de notre propre histoire.


[1] Il s’agit, en l’occurrence, de la fonction  f(z) = z2 + c, où z est une variable complexe (i.e. une variable de la forme x + yi, où i est le nombre imaginaire de base, qui est égal à la racine carrée de -1) et c est un nombre constant complexe. En gros, l’ordinateur applique de façon récurrente la fonction f(z) au résultat obtenu à partir de différentes valeurs de z. Si le résultat de cette séquence ne diverge pas, cette valeur de z est retenue.

[2] D’après l’article du mathématicien Benoît B. Mandelbrot : Fractals and the rebirth of the iteration theory dans The beauty of fractals : images of complex dynamical systems, par H.-O. Peitgen et P. H. Richter, Berlin, Springer-Verlag, 1986, p. 151-160. Mandelbrot a donné le nom de fractal à ce type d’ensemble. Penrose base son histoire sur les travaux de Mandelbrot et d’autres chercheurs qui ont contribué à les concrétiser.

[3] Ibid., p. 95 (idem).

[4] Roger Penrose, The Emperor’s New Mind. Concerning Computers, Minds, and The Laws of Physics, Oxford, Oxford University Press, Toronto, 1989, p. 92 (traduction libre).

[5] Ibid., p. 79 (idem).

[6] Ibid. (idem).