Ce qu’on appelle l’efficacité des mathématiques en physique est une caractéristique essentielle du développement de la recherche. Cela concerne la façon dont les avancées des moyens théoriques à une époque donnée sont capables de rendre compte dans une mesure considérable des avancées observationnelles à la même époque et, parfois, de les susciter, et ainsi de préparer l’époque suivante. Plus précisément, il existe une efficacité récurrente des mathématiques en physique qui signifie que la ligne de réfutabilité potentielle tend à avancer constamment au-delà de la limite d’observabilité effective. La progression scientifique peut être décrite comme une avancée graduelle, avec des à-coups, parfois des ralentissements, de la ligne d’observabilité effective et, au-delà d’elle, de la ligne de réfutation potentielle. Un développement s’effectue progressivement, impliquant de façon interactive le développement d’outils expérimentaux et d’outils théoriques. Ce développement sera désigné ici sous le nom de développement conjoint.

Pour certaines raisons précises, on considérera ici que ce développement conjoint a commencé avec les modèles mathématiques conçus par les mathématiciens et les astronomes grecs, vers le Ve siècle av. J.-C. Il est possible de considérer que l’efficacité des mathématiques pour la description des phénomènes est apparue à ce moment. Même si ces modèles sont souvent vus de nos jours comme ayant perdu toute pertinence pour les astronomes ou les physiciens en général, il apparaît ici important de les considérer, afin de tenter de mieux comprendre de façon générale en quoi consiste cette efficacité des mathématiques en physique.

Les chercheurs grecs ont conçu une série de modèles afin d’expliquer les phénomènes célestes à partir d’une symétrie de base, qui était celle du cercle parfait (ou de la sphère parfaite). Ces modèles ont réussi à rendre compte de phénomènes de plus en plus nombreux et, en un sens, de les expliquer. Ils étaient en effet conçus de façon à prédire ou décrire les phénomènes observés jusqu’à un certain degré d’approximation et leurs auteurs étaient conscients que certains modèles pouvaient s’avérer plus valables que d’autres à cette fin. Les savants grecs étaient — tout comme les scientifiques modernes — incapables d’expliquer cette efficacité de leurs meilleurs modèles de façon scientifique et se contentaient d’invoquer la « perfection » de la symétrie de base.

L’état du savoir dans l’Antiquité grecque

Le principe fondamental de la recherche grecque était que les mouvements des astres devaient être parfaitement circulaires et uniformes. On le trouve énoncé dans l’œuvre de Platon (Timée, 40, A). Platon s’est sans doute alors inspiré des Pythagoriciens et des Éléates. On attribue, en effet, à ces deux écoles l’idée de la sphéricité de la Terre1. Ce principe du cercle ou de la sphéricité s’est avéré en fait des plus féconds. Pythagore et Parménide auraient ainsi compris que l’existence de zones climatiques diversifiées résultait de la sphéricité de la Terre. Bion d’Abdère aurait déduit du concept de sphéricité de la Terre que, dans certaines régions, les jours et les nuits duraient six mois2. Anaxagore aurait été le premier à énoncer clairement la doctrine selon laquelle la Lune réfléchit la lumière qu’elle reçoit du Soleil. Puis, de la forme des phases, on conclut que la Lune devait être une sphère et non un disque, ce qu’Anaxagore avait d’abord lui-même supposé3.

À cette époque, les chercheurs grecs étaient capables de donner sur cette base une explication qualitative complète des phases de la Lune et des éclipses de la Lune ou du Soleil. Le mathématicien Eudoxe a été l’auteur de la première tentative notable de rendre compte de façon systématique des observations célestes sur la base du principe de la symétrie circulaire. Lui et son disciple Calippe ont réussi à reproduire de façon approximative les déplacements de chaque planète, y compris leurs mouvements rétrogrades apparents au moyen de sphères en rotation uniforme, appelées « homocentriques ». Ce système n’expliquait pas les variations de magnitude des planètes ni la différence entre les éclipses totale ou annulaires du Soleil. Cependant d’autres chercheurs ont réussi à le faire, par la suite, avec d’autres modèles, également basés sur le principe de la circularité parfaite. Aristote a complexifié le modèle d’Eudoxe pour mieux expliquer la « physique » du mouvement en introduisant le concept de sphère cristalline. C’est dans ce contexte qu’au IIIe siècle avant J.-C., Ératosthène a déterminé de façon relativement très précise les dimensions de la Terre en l’assimilant à une sphère, en utilisant les ressources de la trigonométrie et en faisant quelques mesures avec des méthodes simples Il aurait ainsi trouvé une valeur de la circonférence terrestre inférieure d’à peine 2% à la valeur connue de nos jours. Mais une incertitude existe sur la valeur de l’unité de mesure utilisée (le stade), de sorte que l’écart oscille entre une fraction de 1% et 5%[4.

Apollonius de Perga (IIIe siècle avant J.-C.) utilisa les épicycles majeurs et les excentriques à centre mobile; Hipparque de Nicée (IIe siècle avant J.-C.) ajouta les épicycles mineurs et développa une théorie plus générale des excentriques. Claude Ptolémée ajouta ensuite l’équant. On ignore qui est l’auteur (ou les auteurs) des concepts d’épicycle et de déférent. L’épicycle est un petit cercle qui tourne avec un mouvement uniforme autour d’un point situé sur la circonférence d’un 2ième cercle en rotation, le déférent, dont le centre coïncide avec la Terre. Les astronomes grecs ajustaient les périodes de révolution et les diamètres de ces cercles de façon à décrire les mouvements des planètes et, qualitativement, leurs variations d’éclat. Hipparque et Ptolémée ont, selon Thomas Kuhn, réconcilié « avec précision la théorie et l’observation5 ». Le modèle de Ptolémée, en particulier, prédisait la position des planètes et leurs mouvements avec une précision jamais atteinte jusque-là6. Il semble que ce système expliquait seulement les observations déjà faites de trajectoires planétaires, mais il a incontestablement permis de faire avancer la recherche de nouveaux concepts. Kuhn ajoute qu’il s’agissait là d’« une explication économique », combinant « puissance » et « souplesse ». Cette description était déjà « exacte » en un sens physique encore en vigueur aujourd’hui, c’est-à-dire conformément au niveau de précision des observations qui étaient effectivement effectuables à cette époque ; les écarts éventuels restaient en principe explicables de façon ad hoc, c’est-à-dire en ajoutant des éléments au système à partir du principe fondamental de symétrie auquel on croyait alors.

C’est encore en se basant sur le principe de symétrie circulaire que Copernic a conçu son propre modèle héliocentrique. Il estimait que l’équant, qui était l’apport le plus original de Ptolémée, était inesthétique et non conforme au principe de symétrie circulaire. Le concept de l’équant consistait à poser que l’astre, par exemple le Soleil, balayait des angles égaux en des temps égaux autour de ce qu’il appelait le point équant (tout en ayant une vitesse et une distance variables par rapport à ce point), situé à une distance appropriée du point central occupé par la Terre. Il se peut donc que l’équant ait conduit Copernic à l’héliocentrisme, puis, d’une autre façon, Kepler à sa deuxième loi.

On notera que Nicolas de Cuse annonça ce qui est appelé la « révolution copernicienne » en niant la séparation entre le monde céleste et le monde sublunaire. Dans la Docte Ignorance (1440), il renonça à la coupure radicale entre le supralunaire et le sublunaire, en appliquant à la « machine du monde », « l’image de la sphère infinie dont le centre est partout […] » et « en affirmant qu’un observateur, partout, se croirait au centre de l’univers ». C’est en fait une vision plus révolutionnaire que celle de Copernic lui-même7.

Or, il est devenu possible d’expliquer au moins en partie cette efficacité des modèles grecs par le fait que les orbites planétaires sont pour la plupart, et pour des raisons dynamiques complexes, assez proches de la forme circulaire, de sorte que, même si les Grecs ignoraient la forme de ces orbites, reconnue depuis Kepler comme étant elliptique, ils ont pu tout de même développer des modèles relativement efficaces pour rendre compte des observations qui étaient alors effectuables. De plus, même si leurs modèles étaient approximatifs et partiellement valables — et même peu valables — en tant que représentations de la réalité, il est indéniable qu’au cours d’une période qui s’est échelonnée sur plusieurs siècles, les astronomes grecs ont fait reculer considérablement la limite d’observabilité effective de même que la limite de réfutabilité effective de leurs théories. Et ils ont par le fait même beaucoup appris sur les mathématiques et sur les phénomènes célestes.

Il serait possible de montrer que les astronomes grecs ont ainsi ouvert la voie au modèle copernicien, puis à l’établissement des lois de Kepler et, par la suite, à toute la science classique. Plusieurs de leurs présupposés, parmi ceux qu’ils jugeaient les plus fondamentaux – par exemple, le principe de la sphère ou du cercle parfaits, ou le présupposé du géocentrisme –, ont dû être rejetés par la suite. Cependant ils ont fait progresser les outils théoriques (par exemple, par leur invention de la théorie des nombres, de la géométrie et des sections coniques) et observationnels (par exemple, par leur utilisation systématique du cadran solaire, de la sphère armillaire8 ou d’autres instruments mal identifiés, qui ont permis de constituer les premiers catalogues d’objets célestes) de façon telle que les outils théoriques devaient effectivement rendre compte des observations connues.

On pourrait objecter ici qu’on ne peut établir de continuité épistémique entre les développements astronomiques des savants Grecs et ceux de la science moderne étant donné tout ce qui les éloigne en termes de conception du monde et, plus spécifiquement, des types de modèles mathématiques ou d’organisation de la recherche9. Toutefois, une telle remarque, aussi pertinente soit-elle à l’étude historique des développements du savoir, ne contredit pas ce qui est dit ci-dessus en termes d’observabilité et de réfutabilité. L’IP se retrouve aussi bien chez les Grecs de l’antiquité que chez les chercheurs les plus récents. Ce fait suffit pour qu’on puisse fonder un lien profond entre modèles grecs et modèles modernes, en dépit de toutes les différences qui les séparent par ailleurs. Puisqu’il s’agit de rompre avec l’interprétation non pythagoricienne des lois et principes théoriques en général, aussi bien ceux des Grecs que ceux des modernes, cela les apparie de toute façon sur ce point précis.

L’une des caractéristiques communes à la recherche scientifique en son sens le plus général est justement l’efficacité des mathématiques en physique. Les astronomes grecs ont utilisé une symétrie qui, à leurs yeux, était fondamentale et qui s’est avérée étonnamment productive. Et il en va de même, par exemple, dans le cas des lois de Kepler, qui ont été établies de façon phénoménologique, c’est-à-dire sans théorie fondamentale validée. Ces lois des planètes ont été en mesure de rendre compte de façon extraordinairement exacte des observations les meilleures qui étaient alors disponibles. En fait, – on le sait d’après la dynamique classique – les lois de Kepler n’étaient pas complètement exactes mais approximatives. Et les lois de Newton reproduisent le même schème de développement conjoint, en termes d’observabilité et de réfutabilité. Ces lois sont encore approximatives et partiellement valables. Tout en étant exacts seulement jusqu’à un certain degré de précision, ces modèles ont été utiles pour rendre compte des observations effectives. Ils ont permis efficacement d’avancer et ce, même si d’abord on les a crus faussement d’une exactitude absolue.

À notre époque, la théorie particulière qui remporte les succès les plus étonnants est l’électrodynamique quantique. On peut relever une similitude formelle entre les bases de cette théorie, qui sont les symétries de jauge, et les lois ou principes qui se sont avérés les plus rentables dans le passé en ce qui concerne la capacité de rendre compte des phénomènes, soit le principe du cercle chez les astronomes grecs et les lois de Kepler. Dans ces deux derniers cas, on a attribué l’efficacité à des caractéristiques fondamentales de la nature sans être en mesure de l’expliquer davantage. Il en va de même en ce qui concerne les symétries de jauge. On sait maintenant, dans le cas des modèles grecs et de celui de Kepler, que leurs descriptions de la nature étaient approximatives et que les représentations de la réalité physique qui en découlaient n’étaient que partiellement valables. Dans le cas des symétries de jauge, on ne le sait pas encore.

1 Cf. Antonie Pannekoek, A History of Astronomy, London, Barnes and Nobles, 1961, 1969, p. 99-100. 1

2 Ibid., p. 100. 2

3 Cf. Ludwik Marian Celnikier, Histoire de l’astronomie occidentale, Paris, Technique de documentation – Lavoisier, 1986, p. 46. 3

4 Cf. Jean-René Roy, L’astronomie et son histoire, Québec, Presses de l’université du Québec, Paris, Masson, 1982, p. 98 ; Antonie Pannekoek, A History of Astronomy, London, Barnes and Nobles Inc., 1961, 1969, p. 124. 4

5 Thomas Kuhn, La révolution copernicienne, Paris, Fayard, 1973, p. 72-84. 5

6 Cf. Jean-René Roy, op. cit., p. 102. 6

7 Cf. M. de Gandillac, Encyclopaedia Universalis, vol. 11, Paris, 1974, p. 799a. 7

8 La sphère armillaire (du latin « armilla », bracelet) est constituée d’un anneau équatorial et de plusieurs anneaux méridiens. La terre y est figurée par une sphère au centre de cercles figurant les mouvements planétaires (Cf. Antonie Pannekoek, A History of Astronomy, London, Barnes and Nobles, 1961, 1969, p. 91). 8

9 Alexandre Koyré est l’un des auteurs qui ont le plus insisté sur le caractère révolutionnaire de la science moderne (Cf. Alexandre Koyré, Du monde clos à l’univers infini, Paris, Gallimard, 1973, p. 13). On peut, en effet, reconnaître que la dynamique newtonienne est révolutionnaire par rapport à la physique aristotélicienne. Toutefois, les transformations profondes semblent bien faire partie du développement normal de la recherche scientifique, ainsi qu’en témoignent par exemple l’avènement de la théorie de la relativité et celui de la mécanique quantique. Et rien n’empêche de penser qu’il y en aura vraisemblablement d’autres, dans l’avenir de la recherche à long terme. 9