Le concept de potentiel réel est le concept le plus fondamental de la compréhension adisciplinaire du réel. Dans le cadre scientifique actuel, il s’élabore naturellement à partir des principes de la mécanique quantique. Cependant, après avoir fait ici l’objet d’un examen critique quant à sa signification épistémologique et ontologique, il apparaîtra susceptible de trouver des applications dans l’ensemble des champs de la recherche. 

3.1 Le graphe mathématique 

            Le graphe est connu comme un outil mathématique aux multiples applications en physique, en biologie et dans les sciences sociales 1. Il permet de développer des méthodes qui simplifient des situations d’aspect inextricable en tenant compte des modalités de la complexification. Le graphe en arbre, en particulier, permet de représenter de façon générale les généalogies et, plus généralement, les effets de jeux combinatoires qui se déroulent dans le temps.  

           Dans le cadre d’une théorie globale de l’évolution, nous verrons comment le graphe en arbre peut s’avérer des plus utiles pour décrire le déroulement des processus. Ceux-ci prennent alors la forme de trajets particuliers dans le graphe. Nous verrons que le graphe s’avérera même indispensable pour saisir intuitivement certaines caractéristiques importantes de la mécanique quantique puis, dans le domaine des sciences cognitives, pour faire saisir la façon dont la conscience fonctionne et se constitue dans le temps. 

            Le graphe du potentiel est un graphe en arbre dont toutes les branches sont orientées dans le sens du temps, soit vers le futur, en se divisant conformément à des règles qui découlent de façon simple et directe de la mécanique quantique. Certains théorèmes de la théorie des graphes en arbre, notamment le théorème d’unicité et le théorème de regroupement, permettront de comprendre la raison des difficultés posées par le rôle de la conscience en mécanique quantique 2. Certains des paradoxes de la mécanique quantique pourront ainsi trouver une solution remarquablement simple, sur une base mathématique exacte exprimée en termes de graphes.  

3.1.1 Définition du graphe mathématique 

            Le graphe arborescent orienté sera utilisé dans ce qui suit. Intuitivement, un graphe est un schéma composé de points, appelés sommets, et de lignes reliant deux points, appelées arcs (ou flèches). Chacun des arcs peut être orienté. Le graphe en arbre orienté est intuitivement l’analogue d’un arbre de filiation parentale. Chacun des sommets peut avoir des « descendants » et, à l’exception du premier (ou des premiers), chacun des sommets « descend » d’un autre sommet. Chacun des arcs représente une « filiation » et se trouve orienté dans un sens assimilable à la flèche du temps. Le nombre possible de « descendants » immédiats varie de zéro à un nombre quelconque.  

            Si le graphe en arbre est tel qu’il n’y a qu’un seul sommet qui ne « descend », ou ne découle, d’aucun autre, ce sommet est appelé la racine de l’arbre, lequel est alors un graphe dit arborescent. En pratique, les graphes en arbres qui seront considérés ici seront arborescents et orienté, et les deux expressions — graphe en arbre et graphe arborescent — seront souvent employées de façon équivalente.

            Définition formelle du graphe 

           Un graphe orienté est, en général, formellement défini comme un quadruplet (X, U,  o, e), où X désigne l’ensemble des sommets du graphe, U l’ensemble des arcs du graphe, o désigne une application de U dans X appelée origine, et e désigne une application de U dans X appelée extrémité 3.  

            Intuitivement, cette définition signifie qu’un graphe orienté est caractérisé par un ensemble d’arcs et un ensemble de sommets tels que chacun des arcs possède deux sommets, l’un étant l’origine de l’arc et l’autre son extrémité. 

            Un graphe peut être orienté ou non orienté, connexe ou non connexe, fini ou infini. Il peut ou non comporter des cycles, c’est-à-dire des trajets fermés, obtenus en parcourant une succession d’arcs (sans passer deux fois sur un même arc, et indépendamment de l’orientation des arcs) de sommet en sommet. On appelle chaîne un trajet parcourant de façon continue une succession d’arcs (sans tenir compte de l’orientation des arcs). Dans ce qui suit, le mot trajet sera souvent utilisé au lieu de chaîne. 

            Le graphe en arbre est, par définition, un graphe orienté tel que ce graphe est connexe et sans cycle 4. Intuitivement, cette définition mathématique exploite la caractéristique de tout arbre de filiation. Il est clair que, par nature, l’arbre de filiation est d’un seul tenant – il est « connexe » – et qu’il est dirigé dans une seule direction générale qui est celle du futur – il est « sans cycle » -. 

3.1.2 Le théorème d’unicité et le théorème de regroupement 

            Voici quelques propriétés des graphes en arbre 5:  

A) Tout couple de sommets du graphe est relié par une chaîne d’arcs et une seule.

B) Si on supprime un arc quelconque du graphe, celui-ci n’est plus connexe. 

C) Si S désigne le nombre de sommets et A le nombre d’arcs,

                           on a :  SA + 1. 

D) Si on supprime un arc quelconque entre deux sommets et qu’on fasse glisser l’un sur l’autre ces deux sommets tout en conservant ce qui reste de la structure du graphe initial, on obtient un nouveau graphe en arbre.                                  

            Les propriétés A et D joueront des rôles importants dans les développements qui suivront. La propriété A sera désignée le plus souvent par l’expression théorème d’unicité, et la propriété D, par l’expression théorème de regroupement. Ces deux théorèmes expriment deux caractéristiques essentielles des arbres de filiation en général. On peut s’en convaincre assez facilement, de façon intuitive.

1 En physique, les graphes servent, par exemple, à l’analyse des circuits électriques ou des réactions chimiques; en biologie, ils servent, par exemple, à établir la génétique des populations; dans les sciences sociales, par exemple, ils sont essentiels à la conceptualisation des réseaux de communication et des relations de parenté. 1

2 Les références de base à ce sujet sont le chapitre VI de l’ouvrage de John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton, Princeton University Press, 1955 (Chap. VI: “The measuring process”) et l’article d’Eugen P. Wigner publié en 1961: “Remarks on the mind-body question” dans The scientist speculates (I.J. Good éd.). Heinemann, Londres (reproduit dans E. Wigner, 1967 : Symmetries and reflections. Indiana U.P., Bloomington; et in Quantum theory and measurement, (J.A. Wheeler et W.H. Zurek éd.) Princeton UP, 1983. 2

3 Cette définition est tirée d’Encyclopaedia Universalis, volume 7, Paris, 1974, p. 952b. 3

4 Voir par exemple Claude Berge, Graphes et hypergraphes, Paris, Dunod, 1970, p. 22. 4

5 Ibid. 5